Частка не з дієприслівниками пишеться роздільно. Не знаючи. Деякі дієприкметники без не не вживаються, тому пишуться з не разом.
- Суцільно пишеться не зі знаменниковими словами, які не вживаються без не: невіра, безглуздий, обурюватися, не уникнути.
- Окремо пишеться не зі знаменниковими словами, при яких є або мається на увазі протиставлення. …
- Окремо пишеться не зі знаменниковими словами, якщо логічно підкреслюється заперечення.
У цьому випадку “навіщо” – це прислівник. Наприклад: – Навіщо ти це зробив? (можна замінити на “чому?”) Роздільне написання буде правильним, коли “за чим” – це займенник із прийменником, а за змістом ідеться про якийсь предмет, за яким щось перебуває (позаду), або за яким треба сходити кудись тощо.
Не знав, не хотів, не любив, не любив, ненавидів (корінь, пишеться разом), обурювався (корінь), не говорив, нездужає (корінь), неволити, не вміти, не розбагатіти, не тріщить, не здивувався, не злюбив, не жартував, не квапив, не готувати, не побачити.